Skip to content

Solución: juego de multiplicación

by en 04/03/2013

¡Hola!

Tras dejaros una semana para pensar, llega el momento de desvelar el misterio del último acertijo 🙂

En él, dos niños, Clara y Jaime, jugaban a un juego de multiplicación. Empiezan con el número 1, y van multiplicando el valor acumulado de manera alterna (empezando Clara) por un número entre 2 y 9. Gana aquél que, tras multiplicar, llega a un número igual o mayor que el elegido de antemano antes de empezar.

En el enunciado razonábamos que para algunos números (17 y 162) el ganador estaba en realidad predestinado desde el principio, asumiendo que ambos juegan con la estrategia perfecta.

Os preguntábamos si ocurría lo mismo, y quién era el ganador, si los números a los que llegar eran 200, 300 y 400. Veremos con detalle el caso de 200, y dejaremos el resto para vosotros 🙂

Para resolver el acertijo, en realidad es mejor ver el juego al revés. Es decir, empezando por el final. Sabemos que el jugador que recibe el turno cuando el número acumulado es 200 o más pierde. Fíjate que he dicho el que recibe el turno. Habrá ganado el último que multiplicó. Por tanto, podemos decir que:

Rango del número Quien tiene el turno…
200.. infinito Pierde

El que tiene el turno en el momento justo anterior de llegar a ese rango, intentará ganar por todos los medios. Para eso, querrá llegar al 200 por muy lejos que esté. Como en cada turno se multiplica por un número entre 2 y 9, el número de partida más alejado que hace llegar al rango ganador es 200/9, que es 22’2222. No hay números con decimales en este juego. 22·9 = 198 (se queda corto), y 23·9 = 207 (tiene suficiente). Por tanto, el jugador que tiene el turno cuando el número acumulado hasta ahora está entre 23 y 199 ganará. Basta que multiplique por 9 (o incluso por menos en números más altos) para hacer perder al oponente. Por tanto:

Rango del número Quien tiene el turno…
200.. infinito Pierde
23..199 Gana

Sigamos. El jugador que tiene el turno justo antes de caer en ese rango 23..199 intentará desesperadamente no caer en él. Para eso, intentará decir el número más pequeño para evitar el rango, y dar la victoria a su oponente. Dado que siempre tiene que multiplicar, y el valor más pequeño posible es 2, un jugador óptimo no caerá en el rango 23..199 a no ser que sea por obligación, es decir porque ha caído incluso multiplicando por el valor más bajo, el 2. Como antes, dividimos 23/2=11.5. Si el número es 11, multiplicando por 2 llegamos a 22 y nos libramos. Pero si el número es 12, no nos libraremos de caer en el rango maldito, pues al multiplicar por 2 saltaremos de lleno a él. Fíjate que multiplicando por 9 también (12·9=108). Por tanto:

Rango del número Quien tiene el turno…
200.. infinito Pierde
23..199 Gana
12..22 Pierde

Si seguimos con este mismo razonamiento, podemos completar la tabla entera:

Rango del número Quien tiene el turno…
200.. infinito Pierde
23..199 Gana
12..22 Pierde
2..11 Gana
1..1 Pierde

Hemos llegado, abajo del todo, al rango que incluye el 1. La tabla nos dice que el jugador que tiene el turno cuando el número es 1, pierde. Como siempre empieza jugando Clara, ella perderá. Es Jaime el que gana. ¡Nuestro lector Joti acertó!

Aunque no desarrollaremos la tabla, cuando el número al que hay que llegar es 300, también gana Jaime. Sin embargo, cuando el número es 400, ganará Clara. Ninguno de estos dos resultados fueron acertados por Joti 😦

En esta explicación hemos utilizado una tabla para deducir quién gana, y hemos ido “dividiendo hacia atrás”. Pero hay otra forma mucho mejor de resolver el acertijo, que os dejamos para que penséis… Solo una pista. Si seguís el proceo que os hemos contado para todos los números entre 200 y 300, os aseguramos que siempre gana Jaime. Sin embargo, algo ocurre entre el 300 y el 400 que cambia las tornas para que gane Clara. ¿A partir de qué número empieza a ganar ella? Y… ¿a partir de qué número vuelve a ganar Jaime? ¿Es posible averiguar de alguna forma qué números son esos que ocasionan un cambio en el vencedor?

Como siempre, si te gusta programar y das con esa solución sofisticada (o usas la descrita arriba) puedes probar tu implementación aquí.

Anuncios

From → Soluciones

Dejar un comentario

Responder

Introduce tus datos o haz clic en un icono para iniciar sesión:

Logo de WordPress.com

Estás comentando usando tu cuenta de WordPress.com. Cerrar sesión / Cambiar )

Imagen de Twitter

Estás comentando usando tu cuenta de Twitter. Cerrar sesión / Cambiar )

Foto de Facebook

Estás comentando usando tu cuenta de Facebook. Cerrar sesión / Cambiar )

Google+ photo

Estás comentando usando tu cuenta de Google+. Cerrar sesión / Cambiar )

Conectando a %s

A %d blogueros les gusta esto: