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Solución: máquina de monedas

by en 19/05/2013

¡Hola!

Es el momento de resolver nuestro acertijo de esta semana. En él, os describíamos una hipotética máquina tragaperras en la que la moneda iba atravesando una serie de bifurcaciones ocultas hasta llegar a alguna de las troneras inferiores:

Máquina con los carriles en forma de árbol

Al mirar el interior de la máquina, descubrimos que las bifurcaciones se limitan a ir intercambiando el raíl de salida, de manera que la bifurcación 1 saca la primera bola que le llega hacia la 2, la siguiente hacia la 3, la siguiente hacia la 2, y así sucesivamente.

Os preguntábamos en qué tronera caerían la moneda número 10, y la número 26. ¡Ninguno os atrevísteis a dar una posible solución! 😦 Resolver el acertijo si nadie lo ha resuelto es mucho más aburrido, pero ¡qué le vamos a hacer! Vamos allá…

Actualización: ¡sí tuvimos una resolución correcta! David la dio en un comentario “in extremis” y se nos pasó por alto. ¡Enhorabuena David, y disculpa el error!

Una máquina como la de la figura, con 3 niveles de bifurcaciones es demasiado complicada para empezar. Comenzaremos pensando que solamente tiene la primera, la numerada con un 1, y que las troneras están en las posiciones 2 y 3. Con esto en mente, es fácil hacerse una tabla con el destino de las monedas en una máquina con una única bifurcación:

Nº moneda 1 2 3 4 5 6 7 8 9
Decisión nivel 1 Iz Der Iz Der Iz Der Iz Der Iz
Destino nivel 1 2 3 2 3 2 3 2 3 2

La tabla nos muestra que en el primer nivel de bifurcación (la numerada con el 1) se va alternando la salida hacia la izquierda y hacia la derecha contínuamente. Eso hace que las monedas vayan hacia las bifurcaciones 2 y 3 de manera alterna. Es importante fijarse que hay un ciclo que se repite cada dos monedas.

Veamos ahora qué pasa en el siguiente nivel; añadamos las bifurcaciones 2 y 3. Cada una de ellas también funcionará en un ciclo izquierda-derecha. Pero ahora el ciclo es “más lento”, porque sólo le llega una moneda de cada dos (por la bifurcación superior). Por tanto las dos primeras monedas van hacia la izquierda en el nivel 2, aunque la primera lo hará en la bifurcación 2 y la segunda en la 3. Luego las dos siguientes irán hacia la derecha. Es decir:

Nº moneda 1 2 3 4 5 6 7 8 9
Decisión nivel 1 Iz Der Iz Der Iz Der Iz Der Iz
Destino nivel 1 2 3 2 3 2 3 2 3 2
Decisión nivel 2 Iz Iz Der Der Iz Iz Der Der Iz
Destino nivel 2 4 6 5 7 4 6 5 7 4

De nuevo, aparece un ciclo, en este caso de longitud 4, en las posiciones destino (4-6-5-7). En el siguiente nivel el proceso es el mismo. Cada una de las bifurcaciones llevan las monedas que le llegan primero hacia la izquierda y luego hacia la derecha. Pero ahora tienen que meterse cuatro monedas para que una moneda repita bifurcación, debido al ciclo. Por tanto, en el nivel 3, las cuatro primeras monedas irán hacia la izquierda (cada una en una bifurcación diferente), las cuatro siguientes hacia la derecha, y así sucesivamente. Por tanto:

Nº moneda 1 2 3 4 5 6 7 8 9
Decisión nivel 1 Iz Der Iz Der Iz Der Iz Der Iz
Destino nivel 1 2 3 2 3 2 3 2 3 2
Decisión nivel 2 Iz Iz Der Der Iz Iz Der Der Iz
Destino nivel 2 4 6 5 7 4 6 5 7 4
Decisión nivel 3 Iz Iz Iz Iz Der Der Der Der Iz
Destino nivel 3 8 12 9 13 10 14 11 15 8

Como antes, ¡hemos vuelto a un ciclo! Podemos intuir que cada 8 monedas el ciclo (esta vez más largo) se repite. Es fácil deducir mirando la tabla por lo tanto que la moneda número 10 acabará en la tronera 12 (la siguiente a la 8 en el ciclo). Saber dónde acabará la 26 es un poco más tedioso si lo hacemos creando la secuencia completa. Pero dado que el ciclo se repite cada 8 monedas, podemos dividir 26 entre 8 para saber que el ciclo se repite 3 veces, y hay luego 2 monedas más. Por tanto, de nuevo, la moneda acabará en la tronera número 12.

Pero el acertijo no acababa aquí. Os preguntábamos también en qué troneras acabarían las monedas número 10, 26 y 100 si la máquina tuviera 6 niveles de bifurcaciones, y no 3 como la de la figura. Para resolver esto no es práctico hacerse la tabla completa, y hay que intentar extraer algún patrón. En este momento seguramente lo hayas visto ya. En el primer nivel, el ciclo de decisiones es corto: iz-der, iz-der, … En el segundo nivel, es similar, pero más lento, con todo duplicado: iz-iz-der-der, iz-iz-der-der, … Y en el tercer nivel, el doble de largo: iz-iz-iz-iz-der-der-der-der, … ¡Esto recuerda a los números en binario!. Para ver si los encontramos, vamos a restar uno al número de moneda, de forma que la primera moneda será la 0 (y no la 1). Además, ya no nos interesa lo que ocurre en cada bifurcación; queremos saber en qué tronera acaba cada moneda. Vamos a hacer una nueva tabla donde listemos el número de moneda y en qué tronera acaba (en la máquina de tres niveles de bifurcaciones que conocemos), escribiendo los números en decimal y en binario (si no recuerdas lo que es el binario, puedes revisar nuestro acertijo de hace algunas semanas). Por motivos de espacio, haremos la tabla en horizontal y no en vertical como las anteriores:

Nº moneda Nº moneda (binario) Tronera Tronera (binario)
0 0000 8 1000
1 0001 12 1100
2 0010 10 1010
3 0011 14 1110
4 0100 9 1001
5 0101 13 1101
6 0110 11 1011
7 0111 15 1111
8 1000 8 1000

Si miras la parte en binario que está en negrita (los tres últimos bits) te darás cuenta que son iguales en ambas columnas pero en orden inverso. Y hay tres bits, porque tenemos tres niveles de bifurcaciones en el ejemplo. Es decir, para averiguar en qué tronera acaba una moneda, restamos 1 al número de moneda (para empezar a contar en 0), nos quedamos con los últimos bits (tantos como niveles de bifurcaciones haya), les damos la vuelta, y le ponemos un último bit a 1 a la izquierda. ¡Y ya está! Con esto, es fácil ver que con 6 niveles de bifurcaciones, la moneda número 10 acabará acabará en la tronera 100, la 26 en la 102 y la 100 en la 113.

Como siempre, si te animas a programarlo, puedes probar tu solución aquí.

¡Hasta mañana!

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From → Soluciones

2 comentarios
  1. David permalink

    Nadie lo resolvió? 😥
    Yo lo intenté el domingo por la mañana, aunque no se si aún estaba en plazo… Yo si que veo el comentario en la entrada anterior =/

    • ¡¡Vaya!!

      ¡Tienes razón! Disculpa el error. Escribimos la entrada con la solución por la mañana antes de que pusieras tu solución, y programamos su publicación automática para por la tarde porque no podíamos hacerlo a mano. Pensábamos que nadie lo intentaría ya, pero nos equivocamos 🙂 ¡Enhorabuena por tu solución correcta!

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