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Solución: uno, equis, dos

by en 17/11/2013

Hola *.*!

Aquí estamos, un domingo más, para resolver el acertijo de la semana.El lunes pasado nos poníamos en el contexto de un grupo de 5 amigos que, en una piscina, forman un círculo y se pasan, de izquierda a derecha, una pelota 12 veces. Si la pelota la tenía inicialmente la persona número 1, ¿quién la tiene al final?

Al ir recorriendo el círculo, la pelota pasa de la persona 1 a la 2, de la 2 a la 3, y así sucesivamente hasta llegar a la 5. Luego, vuelve de nuevo al primero, a la persona número 1. La secuencia por tanto es: 1, 2, 3, 4, 5, 1, 2, 3, … Vemos que tras 5 pases la pelota llega a la primera persona, tras 5 más vuelve al mismo punto y por tanto después de dos pases más (para llegar al número 12) lo tendrá la persona número 3, tal y como nuestro lector David nos dijo. Podemos hacernos una tabla con la secuencia:

Número de pases 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
Persona final 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 1 2 3

La siguiente pregunta que os hacíamos tenía números más grandes, por lo que en lugar de hacer la cuenta manualmente vamos a recurrir a las matemáticas (sencillas). Hay una operación que devuelve una secuencia numérica circular, como la que tenemos aquí (1, 2, 3, 4, 5, 1, 2, …) , pero comenzando por cero: es la operación “resto” (o, más formalmente, módulo). El resto de dividir 0 entre 5 da 0, el de dividir 1 entre 5 da 1, y así sucesivamente hasta llegar a 4. Luego se repite la secuencia, pues el resto de dividir 5 entre 5 vuelve a dar 0. Podemos ponernos también una tabla:

i 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
Resto de i entre 5 (i % 5) 0 1 2 3 4 0 1 2 3 4 0 1 2

Claramente ambas tablas son muy parecidas. La única diferencia es que el resultado está desplazado. Como dijo David, los humanos acostumbramos a empezar a contar por 1, pero los ordenadores (en este caso más bien la operación módulo) empieza a contar en 0. Dicho de otro modo, nuestras personas se numeran como 1..n, mientras que las del resto se numeran 0..n-1. Por tanto, hay que sumarle uno al resultado

Visto esto, la segunda pregunta que os hacíamos, de la posición final de la pelota en un círculo de 17 personas tras 40 pases es fácil: el resto de dividir 40 entre 17, más uno, es decir 7 como nos dijo David.

Por último, os preguntábamos la posición final de la pelota si el grupo es de 23 personas, se la pasan 58 veces y al principio la pelota la tiene el jugador número 16. Es similar al caso anterior salvo por la inclusión de que de partida la tiene el jugador número 16. Para nosotros, el jugador es el número 16, pero para la operación módulo es el número 15 (recuerda que van del 0 al n-1). Otra forma de verlo es que se ha empezado desde la persona 1, y se han dado 58 pases más 15 iniciales (que no hemos visto) hasta que la pelota ha llegado a la persona 16. En ambos casos, lo que tenemos que calcular es (( (16 – 1) + 58 ) % 23) + 1, que es 5. La pelota al final la tendrá la persona número 5 tal y como, de nuevo, acertó David.

¡Enhorabuena!

¡Hasta mañana!

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