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Solución: la moneda falsa

by en 24/11/2013

¡Aquí estamos, un domingo más!

Esta semana os proponíamos un acertijo en el que teníais que descubrir cuál era la moneda falsa de entre 12, a partir del resultado de diferentes comparaciones de peso. Las monedas, las etiquetábamos con las letras A, B, C, D, E, F, G, H, I, J, K, y L. Para cada caso, os decíamos las monedas que se colocaban a cada uno de los lados de una balanza, y en qué posición final quedaba esta. Es importante decir que no se sabe si la moneda falsa pesa más o menos que cada una de las originales.

En los comentarios, Borja nos dio su solución y… ¡¡acertó y lo explicó perfectamente!! Aunque se puede llegar a la respuesta por “sentido común”, lo complicado del acertijo es encontrar una manera sistemática de hacerlo, que sepamos que funciona siempre y que, por tanto, se podría programar en un ordenador. La idea es llevar la pista de las monedas “sospechosas de ser falsas”, ya sea bajo la hipótesis de que la falsa pesa menos, como bajo la hipótesis de que pesa más. Al principio, todas las monedas son sospechosas de ser falsas, y según vamos realizando pesadas eliminamos de nuestra lista las que resulta imposible que sean falsas. Es decir, al principio las monedas A-L (todas) son sospechosas de “pesar más” que las demás y por tanto ser falsas; y, al mismo tiempo, las monedas A-L son también sospechosas de “pesar menos” y ser falsas.

Con esto en mente, veamos las pesadas de la primera pregunta que os hacíamos:

  • A a la izquierda, B a la derecha, queda equilibrado: dado que ambas monedas pesan lo mismo, y solo hay una falsa, ambas son verdaderas, y deben ser eliminadas de las listas:
    • Sospechosas de ser falsas pesando más: C, …, L
    • Sospechosas de ser falsas pesando menos: C, …, L
  • D y E a la izquierda, F y G a la derecha, el lado derecho queda más alto: esto significa que la moneda falsa es una de estas 4. En concreto, o bien D o E es una de las falsas pesando más, o bien F o G son falsas pesando menos.
    • Sospechosas de ser falsas pesando más: D, E
    • Sospechosas de ser falsas pesando menos: F, G
  • K y G a la izquierda, L e I a la derecha, el lado derecho queda más bajo: de nuevo, esto significa que K o G podrían ser falsas pesando menos, y L o I falsas pesando más. Pero al mirar el estado de las listas, tenemos que quedarnos con la intersección. Por tanto:
    • Sospechosas de ser falsas pesando más: ninguna
    • Sospechosas de ser falsas pesando menos: G

Vemos por tanto que la única opción es que la falsa sea la G, y pesando menos que las demás. El proceso que hemos seguido es mantener las listas de sospechosas de ser falsas, e ir quitando las que no puedan mantenerse en ellas después de cada pesada. Las monedas nunca vuelven a entrar en las listas, sólo se quitan.

Vamos con la segunda pregunta. De nuevo partimos de una situación en la que todas las monedas son potencialmente falsas, ya sea pesando más o pesando menos.

  • A, B, C, y D a la izquierda, E, F, G y H a la derecha, queda equilibrado: todas pesan lo mismo, por tanto todas son verdaderas y se quitan de las listas.
    • Sospechosas de ser falsas pesando más: I, J, K, L
    • Sospechosas de ser falsas pesando menos: I, J, K, L
  • I a la izquierda, J a la derecha, queda equilibrado. De nuevo, las dos pesan lo mismo, por tanto no son falsas.
    • Sospechosas de ser falsas pesando más: K, L
    • Sospechosas de ser falsas pesando menos: K, L
  • K a la izquierda, A a la derecha, queda equilibrado. Como antes, ambas son verdaderas. Ya sabíamos que A lo era, pero no ocurría lo mismo con la K:
    • Sospechosas de ser falsas pesando más: L
    • Sospechosas de ser falsas pesando menos: L

Por tanto, claramente la moneda falsa es la L, aunque esta vez no sabemos si pesa más o menos que las demás; al fin y al cabo no se ha utilizado en ninguna pesada.

Vamos con el último.

  • B, E y F a la izquierda, A, G e I a la derecha, el lado derecho queda más bajo:
    • Sospechosas de ser falsas pesando más: A, G, I
    • Sospechosas de ser falsas pesando menos: B, E, F
  • A, E y F a la izquierda, B, G e I a la derecha, el lado derecho queda más alto:
    • Sospechosas de ser falsas pesando más: A
    • Sospechosas de ser falsas pesando menos: B
  • B a la izquierda, C a la derecha, el lado derecho queda más bajo:
    • Sospechosas de ser falsas pesando más: vacía
    • Sospechosas de ser falsas pesando menos: B

Por tanto, la falsa es la B, siendo más ligera.

Borja acertó en su comentario, siguiendo un razonamiento similar. Si queréis programarlo, tendréis que usar dos listas, de las que hay que ir extrayendo aquellas monedas que dejen de ser sospechosas en cada momento. Son en realidad operaciones sobre conjuntos (intersecciones). Si vuestro nivel de programación es avanzado, dado que el número de monedas es pequeño podéis utilizar un campo de bits en lugar de listas, de modo que la intersección puede hacerse con AND’s a nivel de bits. Como siempre, os animamos a que probéis vuestra solución aquí. Y si 12 monedas os parecen pocas, también podéis probarla aquí.

¡Hasta mañana!

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From → Soluciones

One Comment
  1. ¿Y el programa escrito?

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