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Solución: Los cuadrados de Feynman

by en 22/12/2013

¡Hola a todos!

Este año, el gordo de navidad nos ha tocado… ¡pagárselo a los premiados! De modo que agradeced a los bombos nuestra mala suerte, porque gracias a ellos, estamos aquí, al pie del cañón, solucionando el acertijo de la semana en lugar de descorchando botellas para celebrarlo 🙂

En esta ocasión, os hablábamos de los cuadrados de Feynman y os preguntábamos ¿cuántos cuadrados diferentes hay dentro de una cuadrícula de N × N cuadrados? Os poníamos el ejemplo para N = 2, en el que la respuesta es 5:

¡Muchas gracias a todos por vuestras soluciones! Gualterio acertó en su solución y, aun así, David y José Ángel se animaron a enriquecer la respuesta de Gualterio con código en Python y en Java. ¡Enhorabuena a los tres! Para todos aquellos que no entendáis la lógica que hay detrás de ese código vamos con la explicación.

En lugar de usar una cuadrícula de 2 × 2, vamos a poner una un poco más grande, donde podamos buscar el patrón que hay oculto en el acertijo. En concreto, usemos una cuadrícula de 5 × 5

La primera pregunta que nos hacemos es ¿cuántos cuadrados de tamaño 5 × 5 (el más grande posible) podemos poner? La respuesta es fácil: solamente 1:

En la figura, hemos marcado el cuadro superior izquierdo del cuadro completo, por algo que tendrá sentido enseguida.

Una vez que sabemos que nos entra solamente un cuadro de 5 × 5 nos hacemos la misma pregunta pero con cuadros de 4 × 4. ¿Cuántos podemos tener? La respuesta también es fácil:

Vemos que tenemos 4 cuadrados de 4 × 4. Lo importante de lo que nos tenemos que dar cuenta aquí es de las posiciones del cuadrado superior izquierdo de cada caso. Si los ponemos todos juntos tenemos:

Es decir, las esquinas superior izquierda de los cuadrados de tamaño 4 × 4 forman un cuadrado de tamaño 2 × 2.

Si pensamos en los cuadrados que pueden ser “esquina superior izquierda” de los cuadrados de 3 × 3 es fácil darse cuenta de que nos quedan:

o sea, un cuadrado de 3 × 3, con 9 celdas. Por tanto, podremos tener 9 cuadrados de 3 × 3 dentro de una rejilla de 5 × 5.

Os podéis imaginar que la esquina superior izquierda de los cuadrados de 2 × 2 forman un cuadrado de 4 × 4 (16 en total) y, finalmente, las de los cuadrados de 1 × 1 forman un cuadrado de 5 × 5, o sea 25 en total.

¿Veis el patrón? Si la rejilla es de 5 × 5 lo que tenemos que hacer es:

Resultado = (1 × 1) + (2 × 2) + (3 × 3) + (4 × 4) + (5 × 5)

es decir, sumar el cuadrado de todos los números desde 1 hasta 5. Para los números que os preguntábamos (5 × 5, 10 × 10 y 100 × 100) esas sumas dan, precisamente, 55, 385 y 338350, tal y como dijo Gualterio y como también respondían las soluciones de David y José Ángel.

Para nuestros lectores que no sepan programar, llegar calcular los valores para N = 10 o N = 100 puede ser muy lento si se hace a mano. La solución es, como siempre, recurrir a las matemáticas (concretamente a los sumatorios). Como podéis ver en el enlace, resulta que la suma de los cuadrados de 1 a n se puede calcular con una fórmula mágica n·(n+1)·(2n+1)/6. Si lo comprobáis, veréis que los resultados que se obtienen con ella son exactamente los anunciados 🙂

Como siempre, podéis probar vuestras soluciones aquí. David, enhorabuena por tu solución abreviada, es muy elegante 🙂 José Ángel, si envías tu solución al juez on-line, no olvides quitar la salida de “Introduzca el tamaño del cuadrado”, que es amigable para el usuario humano, pero que despistaría al automático 🙂 y no crear un Scanner en cada vuelta del bucle, que puede dar problemas de lo más extraños 🙂

¡Hasta el próximo!

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From → Soluciones

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