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Solución: El reloj de la torre

by en 05/01/2014

¡¡Feliz 2014 a todos!!

Despedíamos el año pasado el año con un acertijo de relojes. Os hablábamos de los relojes de agujas clásicos, en los que tanto la aguja de las horas como la de los minutos se desplazan “a saltos” entre cada una de las 60 marcas de la circunferencia. La aguja de los minutos avanzará a la siguiente marca cada minuto, mientras que la de las horas lo hará cada 12 minutos (60 minutos entre las 5 marcas que debe recorrer para avanzar una hora). Nos interesaba, en este caso, los posibles ángulos que las agujas podrían formar a lo largo de las 12 horas del reloj, y os preguntábamos si los ángulos de 180, 90, 45, 30 y 23 grados pueden o no aparecer.

David nos dio su respuesta y ¡acertó! No sólo nos dijo qué ángulos eran posibles, sino que para cada uno de los válidos nos dio una posible hora en la que aparecería. Gualterio amplió la respuesta con el código de una función en C/C++.

Aunque ambos dieron una pequeña explicación sobre cómo se resolvía el acertijo, vayamos, como es tradición, con la nuestra, pues ambos se dejaron un pequeño detalle que merece la pena aclarar por si algún otro lector tiene aún dudas.

En primer lugar, todos sabemos que una circunferencia tiene 360 grados. Aunque quizá los lectores matemáticos se lleven las manos a la cabeza, diremos que una aguja está en el “ángulo 0” cuando apunta a las 12 (es decir, cuando está completamente vertical), y el “ángulo 90” cuando apunta a las 3 (es decir, hacia la derecha). Éste no es el modo habitual sobre el eje cartesiano, pero es más natural cuando lo proyectamos en un reloj, para que el ángulo de la aguja tenga relación con la hora a la que apunta.

En la circunferencia del reloj hay 60 marcas, una para cada uno de los minutos de una hora. Como tenemos 360 grados en total, y 60 marcas, la distancia entre marcas es de 6 grados (360 / 60 = 6). Por tanto, las agujas siempre están en un ángulo múltiplo de 6: 0, 6, 12, 18, 24, etcétera.

Ahora bien, nosotros no estamos interesados en saber el ángulo de una aguja (“respecto a las 12”), sino el ángulo que forman las dos agujas entre sí. Por tanto, lo que nos interesa es la resta de los dos ángulos. Por ejemplo, si la aguja de las horas apunta a las nueve (“ángulo 270”) y la de los minutos a las 12 (“ángulo 0” o 360), entonces el ángulo que forman las agujas es de 90 grados.

Como las agujas siempre pasan por las marcas, que están en múltiplos de 6, la resta de los “ángulos” de cada aguja siempre será un múltiplo de 6, tal y como nos dijeron David y Gualterio. La pregunta que no contestaron claramente es ¿se pueden formar todos los ángulos múltiplos de 6?

La duda puede surgir porque si pensamos en los ángulos que forman las agujas entre las 12:00 y la 01:00 hay que tener en cuenta que también la aguja de las horas avanza. Durante los 12 primeros minutos de la hora (desde 12:00 a 12:11) sabemos que la aguja de las horas no se mueve. Como la de los minutos sí lo hace, el ángulo entre ellas se ve incrementado en 6 grados cada minuto, por lo que se pasa por los ángulos 0, 6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48, 54, 60 y 66 grados.

Cuando llega el minuto 12, sin embargo, sucede algo interesante. La aguja de las horas también avanza. Por tanto, la aguja de los minutos apuntará a la marca número 12 (72 grados), pero la de las horas apuntará a la marca 1 (6 grados) y por tanto la diferencia volverá a ser 66. 12 minutos después ocurrirá lo mismo (se repetirá dos veces el ángulo 132), 12 minutos después también, etcétera. Al final, cuando llegue sea la 01:00, el ángulo entre las agujas será 330 grados, y por tanto no se habrán completado todos los ángulos múltiplos de 6.

Sin embargo, si dejamos avanzar el tiempo un poco más, durante los siguientes 5 minutos la aguja de los minutos se desplazará, pero la de las horas no (que estará quieta hasta la 01:12). Por tanto, durante los minutos 1:00 a 1:05 la aguja de los minutos se acercará a la de las horas y terminará de cerrar la circunferencia, pasando por los ángulos que faltan (336, 342, 348 y 354). Lo que ocurra más adelante ya nos da lo mismo pues hemos comprobado que, efectivamente, todos los ángulos múltiplos de 6 son visitados al menos una vez.

Con esta explicación no queremos quitar mérito a la de nuestros dos lectores, tan sólo evitar posibles dudas a otros 🙂 Una vez confirmado que, efectivamente, los ángulos posibles son los que son múltiplos de 6, de los que os preguntábamos 180, 90 y 30 son posibles, mientras que 45 y 23 no lo son.

Enhorabuena a David y Gualterio y para los demás, como siempre, si una vez que sabéis la respuesta queréis programarla y probar vuestra solución, podéis hacerlo aquí.

¡¡Que os traigan muchas cosas los Reyes!!

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