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Escribiendo la descomposición en factores primos

by en 10/06/2014

¡Hola!

Vamos con un nuevo acertijo. Esta vez nos vamos a atrever con un acertijo un poquito más complicado que los demás, porque requiere dar varios “pasos mentales” para llegar a la forma de resolverlo. Además, en contra de lo que suele ocurrir, conseguir la solución con la ayuda de un ordenador resulta ser más difícil que hacerlo a mano… de modo que cerrar vuestro editor de código favorito, coged un lápiz y un papel y… ¡manos a la obra!

El planteamiento del acertijo es bastante simple. Es bien sabido que cualquier entero positivo se puede representar de forma única como una multiplicación de números primos. Aunque no es importante para nuestro acertijo, es lo que los matemáticos llaman el teorema fundamental de la aritmética.

Por ejemplo:

6 = 2 × 3
12 = 2 × 2 × 3

Aunque, efectivamente, esta descomposición en factores primos es única, en realidad la mayoría de las veces puede escribirse de más de una forma. Por ejemplo:

6 = 2 × 3 = 3 × 2
12 = 2 × 2 × 3 = 2 × 3 × 2 = 3 × 2 × 2

Vemos que la descomposición del 6 puede escribirse de dos formas, y la del 12 de 3. Además, no hay ningún número menor que 6 cuya descomposición se pueda escribir de 2 formas, ni ninguno menor que 12 que se pueda escribir de 3.

¿Cuál es el número más pequeño cuya descomposición en factores primos puede escribirse de 6 formas? ¿Y de 10? Y… ya que nos ponemos… ¿de 45?

Como siempre, si das con la solución y la programas, puedes probarla aquí. Aunque te recordamos que, en esta ocasión, es más fácil resolverlo a mano (después de pensar un rato) que con un ordenador 🙂

¡Hasta el domingo!

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From → Difíciles, Problemas

3 comentarios
  1. ferran permalink

    Algo estoy haciendo mal…

    Bueno, me surje una duda: el número más pequeño para 10 (y sólo 10) formas de escribirlo es el 72; sin embargo el 60 se puede escribir de 12 formas distintas

    Y lo mismo me pasa con 45, claro. El 360 puede escribirse de 60 formas distintas; el 864 de 56 formas… pero para irme a las exactamente 45 formas de escribirlo tengo que subir hasta el 2304 (?)

    En fin, formulo mi duda:
    se trata de encontrar el menor número que se pueda escribir de al menos k formas, o el menor número que se pueda escribir exactamente de k formas?

    • Hola Ferrán,

      Bienvenido 🙂

      Se trata de encontrar el menor número cuya descomposición se puede escribir exactamente de k formas. ¿Por qué piensas que estás haciendo algo mal? Sólo te falta dar la respuesta a k=6, que es la más fácil 🙂 Y, por si tienes todavía ganas de más ¿y k=72?

      ¿Nos cuentas cómo has llegado al resto de soluciones? Daremos nuestra forma el domingo 🙂

      ¡Gracias por tu comentario!

  2. Gualterio permalink

    Hola,

    Con 72 me da 1920. Pero lo estoy haciendo un poco con el cuento la vieja buscando la forma de expresar el 72 en forma de expresiones con divisiones de un factorial entre productos de factoriales… (con el 72 es particularmente fácil 🙂 ).
    Aún estoy lejos de tener un mecanismo general, más allá del tanteo. Seguiré pensándolo, a ver si me da tiempo antes de que publiquéis la solución… (¡¿o es con tanteo y ya está?!)

    Saludos!

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